1. 개요

《상명산법(詳明筭法)》은 원(元)나라 안지재(安止齋)의 저서로 명(明)나라 홍무(洪武) 6년(1373)에 출판된 산서(算書)이다. 송·원대의 업적, 특히 천원술을 포함하는 방정식 이론은 포함하지 않고 실생활에 필요한 수학을 다루었으며, 산대(籌) 계산을 자세히 설명하였다, 세종(世宗)이 조선의 역산(曆算)을 완성하기 위하여 양휘(楊輝)의 《양휘산법(楊輝算法)(1274~1275)》, 주세걸(朱世傑)의 《산학계몽(算學啓蒙)(1299)》과 함께 《상명산법》을 들여온 후, 호조(戶曹)의 算員을 뽑는 취재(取才) 시험의 과목으로 정해져 19세기 말까지 영향을 주었다.

2. 저자

(1) 성명：안지재(安止齋)(?~?)
(2) 자(字)·별호(別號)：未詳
(3) 출생지역：未詳
(4) 주요활동과 생애 : 未詳
(5) 주요저작：未詳

3. 서지사항

명의 정대위(程大位)(1533~1606)는 그의 저서 《산법통종(筭法統宗)(1592)》의 마지막에 〈산경원류(筭經源流)〉라는 제목으로 여러 산서들을 모아놓았는데, 《상명산법》을 ‘원유안지재하평자작(元儒安止齋何平子作)’이라 하여, 안지재와 하평자가 《상명산법》의 공동 저자로 되어있다. 한편 주술학(周述學)(?~?)은 그의 《신도대편력종산회(神道大編曆宗算會)(1558)》에서 《상명산법》을 ‘하자평편(何子平編)’이라 하였다. 1373년 출판된 《상명산법》에는 하평자, 하자평이 전혀 언급되어 있지 않고, 서문의 마지막에 ‘안지재근술(安止齋謹述)’로 되어 있어 저자는 안지재로 통용되고 있다. 한편 1373년 판본의 제목이 《신간상명산법(新刊詳明筭法)》으로 되어 있어 1373년 이전에 이미 출판된 것을 알 수 있다. 출판사는 ‘여릉이씨명경당간(廬陵李氏明經堂刊)’으로 되어 있다.
《상명산법》에서 〈전무뉴량(田畝紐粮)〉의 두 문항을 제외한 나머지 모든 문항은 장사(長沙) 가형(賈亨)(字 계통(季通), ?~?)의 저서인 《산법전능집(筭法全能集)》의 문항을 선택하여 해설한 책이다. 두 산서 모두 상, 하권으로 되어 있다. 《산법전능집》의 상권은 《상명산법》의 상권의 마지막 문(門)인 〈약분(約分)〉을 하권으로 보내고, 대신에 《상명산법》의 하권에서 〈이승동제(異乘同除)〉, 〈취물추분(就物抽分)〉 두 문(門)을 상권에 넣었다. 《상명산법》의 상권에서 한 자리수가 포함된 곱셈인 〈인법(因法)〉과, 첫 자리가 1인 숫자들이 포함된 곱셈인 신외가법(身外加法)을 취급한 〈가법(加法)〉에 대응되는 제수(除數)가 한 자리인 나눗셈 〈귀법(歸法)〉과. 신외감법(身外減法)의 〈감법(減法)〉의 순서를 《산법전능집》의 상권에는 바꾸어놓았다. 《산법전능집》의 하권에서 평면도형의 넓이를 취급한 〈장량전무(丈量田畝)〉에서, 정사각형의 넓이에서 한 변의 길이, 직사각형의 넓이와 한 변을 주고 나머지 변, 직사각형의 넓이와 두 변의 합을 주고 두 변을 구하는 2차 방정식, 직사각형의 두 변에서 대각선, 대각선과 한 변에서 나머지 한 변을 구하는 구고술(句股術)의 문제를 포함하고 있는데, 《상명산법》은 이들을 모두 취급하지 않았다. 《산법전능집》의 하권 마지막에 전술한 〈약분(約分)〉과 함께 〈개평방(開平方)〉문(門)을 첨가하여 제곱근을 구하는 두 문항을 취급하는데 《상명산법》은 이 문(門)도 다루지 않았다. 따라서 《상명산법》은 《산법전능집》에서 취급한 방정식의 초보 이론은 전혀 취급하지 않았음을 알 수 있다.
《상명산법》은 《산법전능집》의 문항들을 택해서 산대 계산을 철저하게 설명하여 산학의 초학자(初學者)들의 계산법을 익히는 것을 가장 큰 목적으로 한 산서이다. 물론 두 산서 모두 완성된 시기를 알 수 없어서, 가형(賈亨)이 산대 계산을 모두 생략하고 《상명산법》의 문항들만 나열하고 문항들을 첨삭한 것일 수도 있다. 〈귀법(歸法)〉과 〈감법(減法)〉의 순서와 〈약분(約分)〉을 마지막에 넣은 것은 안지재(安止齋)가 제자리에 넣은 것으로 이해하는 것이 타당하다고 본다. 이 밖에도 《상명산법》의 문제들은 모두 유한소수로 처리되는 문제들이다. 따라서 분수가 필요하지 않지만 〈장량전무〉에서 1무(畝)=240보(步)에서 《산법전능집》은 무법(畝法)을 사용하여 $\mathfrak{n}$무 $\mathfrak{m}$보로 정리하였는데 《상명산법》은 이를 $\mathfrak{n}·\frac{\mathfrak{m}}{240}$으로 하여 소수 표시를 첨가하였다. 이 때 제5, 6문(問)의 경우 순환소수가 나타나는데 이들을 홀(忽)까지 나타내고 분수 표시를 하지 않았다. 그러나 당시에 순환소수의 표현 방법은 없었지만 안지재는 분수의 필요성은 인지하고 있었다. 또 〈귀제(歸除)〉문(門)의 마지막 문항에서 안지재는 비단의 길이를 가형의 필(匹)을 척(尺)으로 바꾸었는데 〈상제(商除)〉문(門), 제2문항의 면포의 값과 비교하면 안지재의 교정이 타당하다. 《상명산법》은 안지재가 《산법전능집》보다 후에 이를 기초로 하여 저술한 산서로 추정된다.
1373년 판본은 일본에 두 권이 있는데 이들도 임진왜란 때 《양휘산법》, 《산학계몽》과 함께 전해진 것으로 추정되는데 낙장(落張)이 있다. 조선에서 필사된 책은 중앙도서관에 있고, 중국 수학사 학자인 이엄(李儼)(1892~1963)이 필사한 책이 중국과학원 자연과학사연구소에 있다.

4. 내용

《상명산법》은 상하(上下) 두 권으로 이루어져 있다. 상권은 구장명수(九章名數), 소대명수(小大名數), 구구단인 구구합수(九九合數), 소수(小數), 대수(大數), 도량형의 단위, 곱셈과 나눗셈에 관한 구결(口訣)인 구수(口授), 곱셈과 나눗셈의 산대 계산에서 자릿수를 결정하는 법인 일승제견총(一乘除見摠) 등을 들었다. 그리고 9문(門) 31문(問), 하권 11문(門) 85문(問)으로 모두 116문항을 취급하였다. 상권의 문항 수는 예를 들어 〈인법〉을 2문항으로 세었지만 실제로 18개의 곱셈을 설명하고 있다. 나눗셈도 마찬가지다.
〈구장명수〉는 《구장산술(九章筭術)》의 각 장의 제목과 내용을 설명하는 것이지만 저자는 틀림없이 《구장산술》을 읽지 않은 것을 나타내고 있다. 송나라 초기의 사찰미(謝察微)는 그의 《산경(筭經)》에서 구장명의(九章名義)라는 이름으로 제2장 〈속미(粟米)〉와 제7장 〈영부족 盈不足〉을 각각 〈속포(粟布)〉, 〈영뉵(盈朒)〉으로 바꾸어놓았다. 이를 정대위가 그의 《산법통종》에 그대로 인용하였다. 안지재도 사찰미의 것을 그대로 사용하였다. 그러나 각 장의 간단한 설명은 《구장산술》에 들어있는 것과 완전히 다르다. 예를 들어 〈속미〉의 경우 “以御交質變易”, 즉 비례를 사용하여 물물 교환하는 법을 다룬다는 것을 “粟者米也 布者錢也 盖以錢糴米多寡之數”, 즉 속은 곡물, 포는 돈이고, 곡물을 사들이는 경우의 돈의 많고 적음을 다룬다라고 하였다.
속미(粟米)는 도정하지 않은 곡물을 뜻하고 〈속미〉장에는 곡물을 사들이는 문제가 전혀 없다. 조선과 일본에 《구장산술》은 매우 늦게 들어와 19세기 이전 모든 산서에서 〈속미〉가 “속포”로 된 데는 《상명산법》도 《산법통종》과 함께 책임이 있다. 승제법에서 나타나는 자릿수를 정하는 방법을 〈일승제견총〉에서 정리하였다. ${10}^{\mathfrak{m}}\times {10}^{\mathfrak{n}}={10}^{{}^{\mathfrak{m}+\mathfrak{n}}},{10}^{\mathfrak{m}}÷{10}^{\mathfrak{n}}={10}^{{}^{\mathfrak{m}-\mathfrak{n}}}(\mathfrak{m},\mathfrak{n}$은 정수)를 언급하고, 이를 활용하여 소수와 대수들의 곱셈과 나눗셈에서 자릿수를 정하는 방법을 상세히 들어놓았다. 한편 10($={10}^1$) 부터 억($={10}^s$)까지의 지수를 들고 소수도 푼(分)($={10}^{-1}$)부터 애(埃)($={10}^{-10}$)까지 들어놓았는데 음수를 나타내는 방법이 정해지지 않아서 이 경우도 자연수로 나타내었다. 소수는 도량형의 단위에서도 사용되는데 부피의 단위에 대한 것도 함께 들어놓았다. 지수와 지수법칙, 연산에서 자릿수를 정하는 방법을 든 산서로, 안지재의 《상명산법》이 가장 오래된 것이고 또 유일한 것으로 추정된다. 〈구장명수〉와 〈일승제견총〉은 《산법전능집》에 나타나지 않는 것들이다.
이어서 상권은 산대를 사용하여 곱셈은 〈인법(因法)〉, 〈가법(加法)〉, 〈승법(乘法)〉문(門), 나눗셈은 〈귀법(歸法)〉, 〈감법(減法)〉, 〈귀제(歸除)〉, 〈구일(求一)〉, 〈상제(商除)〉문(門)에서 상세하게 설명한다. 명대(明代) 이후에 중국은 산대가 주판으로 대치되었지만 산대 계산법은 그대로 주판에 적용하여 이들 방법이 전해졌다. 《산학계몽》은 위의 계산법을 이미 아는 것으로 가정하고 저술된 책이므로 조선과 일본에서 산대 계산법은 《상명산법》을 통하여 전수되었다. 상권의 마지막 문(門)인 〈약분〉에서 《구장산술》의 〈방전(方田)〉장의 유클리드 호제법(Euclidean Algorithm)을 사용하여 최대공약수를 구하여 약분하는 법을 들고 세 문항을 더 들어놓았다.
하권은 상권에서 습득한 계산법을 이용하여 응용문제를 해결한다. 비례식을 사용하여 문제를 해결하는 〈이승동제(異乘同除)〉문(門)과 이의 응용을 〈취물추분(就物抽分)〉문(門)에서 다룬다. 《구장산술》은 비례배분을 제3장 〈최분(衰分)〉에서 도입하는데 최분은 후에 차분(差分)으로 바뀌었다. 안지재는 〈차분〉문(門)에서 비례배분을 다룬다. 《구장산술》의 〈균수(均輸)〉 문제를 포함하여 모두 14문항을 해결한다. 2원1차 연립방정식의 한 방정식이 $\mathcal{x}\pm \mu =\alpha$형태로 되어 있는 문제를 〈화합차분(和合差分)〉에서 취급하는데 《상명산법》은 $=$형태의 2문항만 취급한다. 중국의 도량형은 무게를 제외하면 10진법을 따르고 있다. 그런데 옷감의 경우 1필(匹)은 옷감에 따라 여러 가지로 나뉘어 있다. 이들의 문제를 다룬 문(門)이 〈단필(端疋)〉이다. 한편 무게의 단위는 십진법을 따르지 않고 6수(銖)$=$1푼(分), 4푼$=$1량(兩), 16량$=$1근(斤), 15근$=$1칭(秤), 30근$=$1균(鈞), 4균$=$1석(石)으로 정해져 그들 사이의 환산은 매우 복잡하다. 근과 량의 환산에 대한 구결을 만들어 이를 외워 사용하였다. 이들 문제 14문항을 다룬 문이 〈근칭(斤秤)〉이다. 이상의 문들은 모두 일차방정식에 해당되는 것으로 곱셈과 나눗셈으로 간단히 해결할 수 있는 것들이다. 유한급수의 합을 구하는 문제를 〈퇴타(堆垜)〉문(門)에서 주병일타(酒甁一垜), 평첨초일타(平尖草一垜), 삼각과일타(三角果一垜), 사각과일타(四角果一垜) 등 4문항으로 다루었는데 이들은 잘 알려진 공식을 사용하여 계산만 한 것들이다. 주병일타는 〈퇴타〉의 구결에서 부병퇴타(缶甁堆垜)라 하였다. 심괄(沈括)(1031~1095)은 그의 《몽계필담(夢溪筆談)(1096)》의 극적술(隙積術)에서 윗면과 아랫면이 직사각형인 사각뿔대와 같은 모양으로 배열한 급수의 합을 구하였다. 극적술은 등차급수를 뛰어넘는 중국의 급수론의 시작을 이룬 것으로 중국 수학에서 취급한 대부분의 급수의 합은 이 방법의 특별한 경우이다. 주병일타는 심괄의 급수의 특수한 경우로 윗면의 한 변이 1인 직사각형 형태이다. 부병퇴타는 《양휘산법》, 《산학계몽》 등에는 나타나 있지 않지만 조선의 산서들은 모두 이를 취급하여 《상명산법》이 넓게 읽힌 것을 알 수 있다. 동양 산서에서 부피의 문제는 곡물의 창고나 구조물의 부피의 문제로 도입된다. 이들의 문제를 〈반량창교(盤量倉窖)〉 8문항과 하권의 마지막 문(門)인 〈수축(修築)〉 9문항으로 취급하였다. 다른 산서들은 전술한 급수들을 심괄의 영향으로 부피를 먼저 논하고 이어서 급수를 다루는데, 가형(賈亨)이나 안지재(安止齋)는 이들의 관계를 알지 못한 것으로 보인다. 평면도형의 넓이는 농경사회의 세수(稅收)에 가장 중요한 위치를 차지한다. 따라서 《구장산술》도 〈방전(方田)〉으로 시작한다. 이를 〈장량전무(丈量田畝)〉에서 13문항으로 취급하고, 이어서 《산법전능집》에 들어 있지 않는 여러 종류의 도형의 넓이를 언급하면서 원전(圓田), 즉 원의 넓이를 설명하는 과정에서 고율(古率) ($=3$), 유휘신율(劉徽新率)($=\frac{157}{50}$), 조충지밀율(祖冲之密率)($=\frac{22}{7}$)을 들면서, 유덕전(劉德全)의 정율(精率)을 언급하였다. 유덕전과 그의 정율에 대한 정보는 이후에 완전히 잊히고 다른 산서에는 나타나지 않는다. 조충지의 밀율은 $\frac{355}{113}$이고 $\frac{22}{7}$는 약율(約率)이지만 주세걸이 위와 같이 사용하여 조선의 모든 산서도 $\frac{22}{7}$를 밀율로 사용하였다. 〈퇴타〉부터 〈수축〉까지 모든 문항들은 주어진 공식에 숫자들을 대입하여 계산하는 것이 전부이다. 전술한 대로 《산법전능집》에 들어있지 않은 문(門)인 〈전무뉴량(田畝紐粮)〉은 밭의 넓이와 곡물의 소출량(所出糧) 사이의 비례를 다룬 2문항이다. 하권의 모든 문항은 승제법을 사용하여 간단히 계산할 수 있는 것들이다.

5. 가치와 영향

명대 이전의 모든 계산은 산대(籌) 계산으로 이루어져 있는데 대부분의 산서는 산대 계산이 중요하다는 말만 하고 자세한 설명은 생략하였다. 명대에 주산의 계산법을 다룬 산서들이 예를 그림으로 나타낸 것을 보면 송대(宋代) 초기에는 산대 계산법을 설명한 산서가 있었을 수도 있다. 그러나 13세기 이전의 산서가 모두 잊히게 되어 자세한 것은 알 수 없다. 《양휘산법》에 산대 계산법이 조금 들어 있지만 《상명산법》과 같이 상세하게 설명한 산서는 찾을 수 없다. 취급한 문항들이 실생활과 간단한 국가의 세정 등을 다루는데 충분한 것들로 이루어져 하급 관리들과 상인들에게 필요한 계산법으로는 완벽한 산서라고 할 수 있다. 조선의 산원들의 취재 과목으로 《양휘산법》, 《산학계몽》과 함께 《상명산법》이 들어 있지만 실제로 호조의 산원들은 《상명산법》의 수학으로 충분히 일을 수행할 수 있었을 것이다. 따라서 《상명산법》은 경선징(慶善徵)(1616~1690)의 《묵사집산법(默思集筭法)》, 황윤석(黃胤錫)(1729~1791)의 《산학입문(算學入門)》을 비롯하여 작자 미상의 여러 산서들에 인용되었다. 조선 산학의 발전에 기여한 것은 크지 않지만 처음 산학을 시작하는 사람들에게 아주 중요한 산서인 것은 틀림없다.

6. 참고사항

(1) 명언
• “내가 어렸을 적 산학에 관심을 두었을 때 우리나라에 전해진 산학은 상명 등과 같은 알기 쉬운 것뿐인 줄 알았다.[余少也嘗留意筭學 而東國所傳 不過詳明等書 淺近之法]” 〈김시진(金始振), 중간산학계몽서(重刊算學啓蒙序)〉
• “배우는 사람들이 인법(因法)과 귀법(歸法)을 처음 익힐 때, 당귀(撞歸) 기일(起一)에 이르는 구결을 잘 익혀두면 오류가 있을 때가 있더라도 나머지 여러 법을 모두 관통하고, 또 승제의 사용을 어떻게 적용할지 모르더라도, 이를 잘 분석해보면 산대의 방법으로 이들을 해결할 수 있을 것이다. 복잡한 수학이나 법도도 모두 산대를 사용하는 산술을 통하여 모두 밝혀낼 수 있다.[夫學者初習因歸則口授心會至於撞歸起一 時有差謬旣貫通諸法或設問一數於乘除莫知所措辨而析之是明布筭之方矣 而數之錯綜者又須明立法之道以布筭是乃用筭之術也]” 〈상명산법서문(詳明筭法序文)〉
∙“수에는 상제라 불리는 방법이 있다. 전체를 나누는 것을 헤아리는 일이므로 두 수를 양쪽에 둔다. 개방법도 이를 반드시 사용하고 속상으로 나누어 떨이지지 않거나 개방이 끝이 나지 않으면 그 나머지를 밝혀야한다.[數中有術號商除 商摠分排兩位居 唯有開方須用此 續商不盡命其餘]” 〈상제(商除)〉 문(門)의 구결〉 안지재는 개방법을 다루지 않고 〈반량창교〉 문제 5, 8문항에서 나머지가 있는 경우이지만 그 나머지를 밝히지 않았다.
(2) 색인어：상명산법(詳明筭法), 안지재(安止齋), 산법전능집(筭法全能集), 가형(賈亨), 산대 계산(籌) 計算, 승제법(乘除法), 실생활(實生活)의 문제
(3) 참고문헌
• 中國科學技術典籍通彙 數學卷(郭書春 主編, 河南敎育出版社)
• 中國歷代算學集成(靖玉樹 編勘, 山東人民出版社)
• 默思集筭法(慶善徵, 藏書閣)
• 筭法全能集(長沙 賈亨 季通 類編, 玄覽堂叢書)
• 算學入門(黃胤錫, 理藪新編 21~22卷))

【홍성사】