1. 개요

《사원옥감(四元玉鑑)》은 원(元)나라의 주세걸(朱世傑)이 1303년 출판한 산서(算書)로서, 그의 《산학계몽(算學啓蒙)》(1299)과 함께 중국 수학사에서 가장 우수한 업적을 낸 송(宋)·원(元) 수학을 대표하는 산서 중의 하나이다. 18세기 말 송·원 수학의 재발견과 함께 연구된 《사원옥감》의 세초들이 출판되면서 중국 수학사에서 가장 뛰어난 산서로 알려지게 되었다.

2. 저자

(1)성명：주세걸(朱世傑)(?~?)
(2)자(字)·별호(別號)：자는 한경(漢卿), 호는 송정(松廷)이다.
(3)출생지역：출생 지역은 북경(北京) 혹은 그 부근이거나, 연산(燕山)(하북(河北) 준화(遵化) 서남에 있는 산맥)에 거주한 것으로 추정되어, 하북 북부 혹은 북경 일대 사람으로 본다.
(4)주요활동과 생애
주세걸의 행적은 《산학계몽》의 조원진(趙元鎭)의 서(序)와 《사원옥감》의 막약(莫若)의 전서(前序), 조이(祖頤)의 후서(後序)를 제외하면 정보가 없다. 막약의 서문에 따르면 주세걸은 유명한 수학자로 20여 년 동안 여러 곳을 다녔는데 사방에서 학자들이 모여 선생이 이룬 수학으로 이들을 교육하였다. 따라서 주세걸은 수학자이며 동시에 수학 교육자로 여러 곳을 다니면서 활동한 사람이다. 한편 1127년 북송이 멸망하고 1279년 원이 중국을 통일할 때까지 남북의 학술적 교류가 거의 중단 상태가 되었다. 이는 남쪽에서 활동한 진구소(秦九韶)(1202~1261)와 양휘(楊輝), 북쪽에서 활동한 이야(李冶)(1192~1279)와 주세걸의 산서들을 비교하면 곧 알 수 있다. 주세걸은 1279년 이후 남북을 마음대로 다니면서 남방계열의 수학과 북방계열의 수학을 고루 섭렵하여 송원 수학을 집대성할 수 있었다. 북방 수학의 가장 큰 특징은 다항식의 표현과 연산을 위하여 도입된 천원술(天元術)과 이를 4변수 다항식까지 확장한 이원술(二元術), 삼원술(三元術), 사원술(四元術)에 기초하는 방정식의 이론을 정립한 것이다. 주세걸 이전에 도입된 삼원술에 이어 그가 사원술을 도입하여 저술한 《사원옥감》은 중국 수학사에서 가장 뛰어난 업적으로 알려져 있다. 천원술에 관한 산서는 이야의 《측원해경(測圓海鏡)》(1248년 완성, 초판 1282), 《익고연단(益古演段)》(1259)과 주세걸의 《산학계몽》이 전해지지만, 이원술에서 사원술을 포함하는 산서는 《사원옥감》이 유일한 것이다. 한편 칭기즈칸의 서정(西征)으로 아랍의 역법이 중국에 전파되면서 당시까지 사용된 대명력(大明曆)(1137)을 개정하는 계기가 되었다. 왕순(王恂)(1235~1282), 곽수경(郭守敬)(1231~1316) 등에 의하여 제정된 새로운 역법 수시력(授時曆)(1280)이 시행되어, 1645년 시헌력(時憲曆)으로 대치될 때까지 사용되었다. 수시력에 사용된 수학을 구조적으로 접근한 수학자가 주세걸이다.
《사원옥감》은 권두(卷頭)에 〈사상가령세초(四象假令細草)〉라는 제목으로 천원술부터 사원술까지 각 한 문항씩 네 문항을 설명하고 본문의 문항은 천원(天元), 지원(地元), 인원(人元), 물원(物元)을 선택하고 차례로 “여적구지(如積求之)”, “천지배합구지(天地配合求之)”, “삼재상배구지(三才相配求之)” “사상화회구지(四象和會求之)”라 하고 최종 다항방정식을 구하였다. 이원술부터는 연립 고차방정식으로 이들을 1원 방정식으로 변환하는 일은 매우 어려운 일이다. 따라서 1820년대 이후 중국 산학의 가장 중요한 일은 《사원옥감》을 읽어내어 세초(細草)를 저술하는 일이었다. 여러 학자들이 이에 도전하였는데 그중에 심흠배(沈欽裴)(자(字) 협후(俠侯), 호(號) 압구(狎鷗))와 나사림(羅士琳)(감천(甘川) 출생(현 양주시(揚州市)), 자 차구(次璆), 호(號) 명향(茗香), 1784~1853)의 세초가 유명하다. 전자는 출판되지 않았고 나사림의 《사원옥감세초(四元玉鑑細艸)(1835)》는 이후의 《사원옥감》의 연구의 기초를 이루었다. 그는 세초를 보충하는 여러 산서를 저술하고, 《연원구식(演元九式)》(1827), 《비례회통(比例滙通)》(1828), 《구고용삼사습유(句股容三四拾遺)》(1828), 《삼각화교산례(三角和較算例)》(1840), 《호시산술보(弧矢算術補)》(1843), 《구고절적화교산술(句股截積和較算術)》(1848)과 천문학에 관한 《증광신술(增廣新術)》을 출판하였다. 그가 김시진(金始振)의 《산학계몽》 중간본(1660)을 교정하여 《교정산학계몽(校正算學啓蒙)》(1839)을 출판한 것과 완원(阮元)의 《주인전(疇人傳)》에 이어 《속주인전(續疇人傳)》을 편찬한 것을 보면 19세기 중엽 나사림의 위치를 충분히 짐작할 수 있다.
(5)주요저작：《산학계몽(算學啓蒙)》

3. 서지사항

《사원옥감》이 1303년에 출판된 후 매문정(梅文鼎)(1633~1721)의 산서를 그의 손자 매각성(梅瑴成)(1681~1763)이 모아 《매씨총서집요(梅氏叢書輯要)》(1759)를 출판하면서 부록으로 《적수유진(赤水遺珍)》을 첨가하였는데, 매각성은 차근방과 천원술이 같다는 주장을 하면서 《사원옥감》의 중권 〈혹문가단(或問歌彖)〉의 제3문항을 언급하여 다시 알려지게 되었다. 완원이 1807년에서 1809년 사이에 《사원옥감》을 다시 찾아냈다. 하원석(何元錫)(1766~1829)이 출판하여 《사원옥감》 하본(何本)이라 하고, 이를 저본으로 하여 1820년대 이후 심흠배, 나사림이 세초를 저술하였다. 서유임(徐有壬)(1800~1860), 대돈원(戴敦元), 주홍(朱鴻), 동우성(董祐誠)(1791~1823), 항명달(項名達)(1789~1850), 대후(戴煦)(1805~1860), 이선란(李善蘭)(1811~1882) 등은 나사림의 세초에 따라서 《사원옥감》을 연구하였다.

4. 내용

《사원옥감》은 금고개방회요지도(今古開方會要之圖), 고법칠승방도(古法七乘方圖), 즉 개방법의 기본, 8차까지의 가헌(賈憲)의 삼각형(파스칼Pascal의 삼각형)으로 시작한다. 이어서 사원자승연단지도(四元自乘演段之圖)는 ${\left(x+y+z+u\right)}^2$의 전개식을 직각삼각형의 세 변 와 내접하는 원의 지름(황방(黃方) 또는 현화교(弦和較)로 $a+b-c$)을 사용하여 설명하였다. 네 변수, 즉 사원의 기본 연산을 보여준 것이다. 이에 그치지 않고 오화자승연단지도(五和自乘演段之圖), 오교자승연단지(五較自乘演段之圖)를 첨가하여 사원술(四元術)을 넘어 변수의 수를 얼마든지 늘릴 수 있음을 보여주고 있다.
〈사상세초가령지도(四象細艸假令之圖)〉(이를 목록에서 간단히 가령사초(假令四艸)라 하였음)를 첨가하여 천원술(天元術), 이원술, 삼원술, 사원술 등에 대한 문항을 각각 하나씩 들어서 《사원옥감》의 기본 구조를 설명하였다. 이들도 너무 간략하게 艸를 넣어서 나사림은 보초(補艸)로 그 구조를 명백히 하였다. 천원술부터 사원술을 간단히 설명하면 다음과 같다.
천원술은 1원 다항식 $\sum _{k=-m}^n{a}_k{x}^k\left(0\le m,n\right)$을 상수항 $a_0$을 중심으로 하여 차례로 모든 항들의 계수 $a_k$를 산대로 늘어놓아 나타내고, 산대 계산을 통하여 연산을 하는 것이다. 이원술은 천원(天元), 지원(地元) 두 원으로 이루어진 다항식의 표현을 $x,y$좌표축에서 원점은 상수항, $y$축의 음의 정수 자리로 천원 항들, $x$축의 음의 정수 자리로 지원 항들, 그리고 이들의 곱을 대응되는 좌표에 넣어 나타낸다. 삼원술은 이원술에 더하여 $x$축의 양의 정수 자리를 사용하여 인원(人元)항들, 사원술은 삼원술에 $y$축의 양의 정수 자리로 물원(物元)항들을 나타내어 4원 다항식까지 표현하고 연산하는 것이다. 1원부터 4원 다항식의 표현이지만 동양의 산서는 천원부터 물원까지 모두 특정한 미지수를 나타내는 것이어서 일반 다항식이나 다항함수를 의미하는 것은 아니었다.
연립1차방정식은 2개 이상의 미지수를 갖지만, 이들은 이미 《구장산술(九章算術)》의 제8장 〈방정(方程)〉에서 행렬(行列)로 나타내고 ‘가우스-요르단(Gauss-Jordan) 소거법’이라고 알려진 방법으로 해결하였다. 행렬 표시는 미지수의 계수만 나타낸 것이다. 동양 산서에서 취급한 고차 방정식도 모두 실생활의 문제를 다루었기 때문에 조건들을 보면 모두 연립고차방정식이다. 천원술로 다항방정식을 구성한 것은 분수식(分數式), 무리식(無理式)을 포함하는 연립고차방정식에서 한 다항방정식을 유도하여 이를 해결하는 것이다. 《사원옥감》은 이를 사원까지 확장하여 분수식, 무리식을 포함하는 연립고차방정식을 해결하는 과정을 나타낸 산서로 상, 중, 하 세권으로 이루어져 있다. 상권 6문(門), 71문(問), 중권 10문(門), 103문(問), 하권 8문(門), 110문(問)으로 모두 24문(門)이고, 전술한 가령사초의 4문항을 합하면 모두 288문항을 취급한다. 중권 제6문(門) 제9, 10문(問)에서 이원술, 제12문(問) 삼원술을 다룬 것을 제외하면 하권 제4문(門)까지는 모두 천원술 문제들이다. 이원술은 하권 제5문(門) 〈양의합철(兩儀合轍)〉(12문(問)), 제6문(門) 〈좌우봉원(左右逢源)〉(21問), 삼원술은 제7문(門) 〈삼재변통(三才變通)〉(11문(問)), 사원술은 제8문(門) 〈사상조원(四象朝元)〉(6문(問))으로 이원술 36문(問), 삼원술 13문(問), 사원술 7문(問)이 전부이다.
동양 수학의 2차 이상의 고차방정식은 《구장산술》의 〈소광(少廣)〉 장의 제곱근, 세제곱근의 풀이에서 시작된다. 이후 실생활과 깊은 관계가 있는 밭, 곡물창고, 성(城), 돈대(墩臺), 능(陵), 수로(水路) 등을 나타내는 평면, 입체 도형의 넓이와 부피, 직각삼각형의 구조와 이를 통한 측량법 문제의 풀이 과정을 통하여 고차 방정식의 이론이 발전되었다. 《사원옥감》도 같은 종류의 문제가 주를 이룬다. 평면도형의 면적과 관계되는 문항들은 상권 제1, 2문(門)인 〈직단구원(直段求源)〉, 〈혼적문원(混積問元)〉 중권 제1, 2, 3, 9문(門)인 〈여의혼화(如意混和)〉, 〈방원교착(方圓交錯)〉, 〈삼율구원(三率究圓)〉, 〈발환절전(撥換截田)〉, 하권 제2門 〈쇄투탄용(鎖套呑容)〉 등에서 취급한다. 〈삼율구원〉의 삼율은 원주율 $\mathrm{\pi }$의 근삿값으로 고율(古率)(=3), 《구장산술》의 주를 단 유휘(劉徽)의 휘율(徽率)($=\frac{157}{50}=3.14$), 조충지(祖冲之)(429-500)의 약율(約率)($=\frac{22}{7}$)(주세걸은 이를 밀율(密率)이라 함, 실제로 조충지의 밀율은 $\frac{355}{133}$임)을 사용하여 문제를 해결한 문(門)이다. 《구장산술》부터 원의 문제는 언제나 구(球)의 문제와 함께 취급되어 〈삼율구원〉에서 입체인 구의 문제도 함께 다루었다. 〈쇄투탄용〉의 용(容)은 일반적으로 한 도형에 내접하는 도형을 나타내지만 그렇지 않은 경우도 다루었다. 직각삼각형 문제 해결을 구고술(句股術)이라 한다. 방정식의 이론은 구고술 이론의 발전과 함께 진행되었다. 직사각형을 대각선으로 나누면 직각삼각형이 되어 직사각형의 문제와 구고술의 문제는 혼용되어 있다. 〈가령사초〉의 4문항 모두가 구고술의 문제이다. 상권의 제6문(門) 〈화분색은(和分索隱)〉, 중권 제4, 5문(門)인 〈명적연단(明積演段)〉, 〈구고측망(句股測望)〉, 하권 제5, 6, 7, 8문(門)인 〈양의합철(兩儀合轍)〉, 〈좌우봉원(左右逢源)〉, 〈삼재변통(三才變通)〉, 〈사상조원(四象朝元)〉에서 구고술에 관계되는 방정식을 구성한다. 주세걸은 이원술부터 사원술 모두를 구고술을 통하여 설명한다. 사원술을 다룬 제8문(門)은 6문항이지만 처음 네 문항은 삼원술과 같은 종류의 조건에서 구하는 물원(物元)이 직각삼각형의 세 변의 1차식이고 제5문(問)도 1차식의 세제곱근이어서 삼원술로 세 변을 구하면 된다. 제6문(問)은 조건으로 물원에 관한 4차식과 2차식이 들어있어 실질적으로 사원술에 해당되는 유일한 문제이다. 이 문항을 해결하기 위하여 구한 방정식은 14차이다.
입체 도형의 문제는 상권 제4, 5문(門)인 〈늠속회구(廩粟迴求)〉, 〈상공수축(商功修築)〉, 중권의 제1문(門) 〈여의혼화(如意混和)〉 등에서 다룬다. 상거래(商去來) 문제도 모든 산서에서 취급하지만 주로 비례를 포함하여 1차 방정식으로 해결하고 있다. 주세걸은 2∼4차 방정식으로 해결할 수 있는 문제를 모아 상권 제3문(門) 〈단필호은(端匹互隱)〉에서 다루었다. 여러 종류의 성격을 가지는 문제를 모은 것이 중권 제6문(門) 〈혹문가단(或問歌彖)〉, 하권 제3, 4문(門)인 〈방정정부(方程正負)〉, 〈잡범류회(雜範類會)〉이다. 주세걸은 그의 《산학계몽》에서 연립1차방정식의 해들에 관한 조건에서 구고술의 문제를 해결하기 위하여 천원술을 처음 도입하였다. 위의 〈방정정부〉문(門)에서 같은 방법으로 상거래를 포함하는 전술한 종류의 문제들을 해결하고 있다. 《구장산술》 〈방정〉에서 처음으로 음의 유리수와 연산을 도입하여 항상 방정정부가 한 단어가 되었다.
사원술을 도입한 것도 중요하지만 《사원옥감》은 유한급수론(有限級數論)(이를 퇴타술(堆垜術)이라 함)을 도입한 것이 더 중요한 기여라고 해도 좋다. 도형을 통하여 2차, 3차 항을 이해한 전통 산학자들에게 4차 이상의 항은 실생활과 연결할 수 없었다. $x^n$은 $n-1$승방(乘方), 즉 $x^4, x^5,···$은 3승방, 4승방……등을 사용하여 나타냈다. 심괄(沈括)(1031~1095)은 그의 《몽계필담(夢溪筆談)》(1095)의 〈극적술(隙積術)〉에서 유한급수의 합을 대응되는 입체의 부피와 연계하여 구하였다. 주세걸은 귀납적으로 정의된 삼각타 계열의 합들은 차수가 얼마든지 올라갈 수 있음을 보여주고 고차방정식의 구성에 이들을 활용하였다. 삼각타 계열의 항은 모두 가헌의 삼각형에 사선으로 나타나고 그 합은 그 바로 다음 사선에 나타난다. 삼각타 계열의 급수는 계차수열 이론의 기본이 되는 것도 주세걸은 정확하게 설명하고 있다. 원(元)나라의 역법인 수시력(授時曆)(1280)의 평입정삼차술(平立定三差術)은 주세걸 이론의 특별한 경우이다. 주세걸은 이들을 확장하여 여러 종류의 유한급수를 중권 제1, 7, 8, 10문(門)인 〈여의혼화〉, 〈교초형단(茭艸形段)〉, 〈전적교참(箭積交參)〉, 〈여상초수(如像招數)〉와 하권 제1문(門) 〈과타첩장(果垜疊藏)〉에서 다루었다. 이들에 관한 내용은 아래 참고문헌을 보기로 한다.
연립고차방정식의 풀이는 연립1차방정식과 같이 최종적으로 1원 다항방정식을 구해야 한다. 고차의 경우는 1차와 달리 소거하는 일이 복잡하다. 주세걸의 소거법은 최종적으로 두 식 $y^k{A}_1\left(x\right)+B_1\left(x\right)=0, y^k{A}_2\left(x\right)+B_2\left(x\right)=0$을 얻어서 방정식 $A_1\left(x\right)B_2\left(x\right)-A_2\left(x\right)B_1\left(x\right)=0$을 구하는 것이다. 이를 위하여 방정식 $P=0$에서 $P$를 두 식 $A,B$의 합으로 나누어 새로운 등식 $A^2-B^2=0$을 얻는 방법을 활용한다. 두 식의 합으로 나누는 것을 척분(剔分)이라 한다. 조이(祖頤)의 후서에 따르면 주세걸 이전에 이덕재(李德載)의 《양의군영집(兩儀羣英集)》에 지원(地元), 유대감(劉大鑑)의 《건곤괄낭(乾坤括囊)》에 인원(人元)이 들어 있다고 하였는데, 이들은 모두 실전되었다. 따라서 위의 소거법은 주세걸이 고안한 것으로 보는 것이 타당하다.

5. 가치와 영향

사원술과 함께 《사원옥감》에서 정립한 주세걸의 퇴타술은 14세기 초의 수학으로 믿을 수 없을 정도의 위대한 업적이다. 현대 수학에 그대로 적용되고 있는 구조를 가지고 있다. 불행하게도 500년 이상 《사원옥감》의 업적들을 이해하지 못하여 19세기 중엽까지 전통수학의 발전에 전혀 기여하지 못한 것은 상상을 초월하는 일이다.
전술한 대로 주세걸은 계산과정, 소거과정 모두를 생략하였다. 사원술 표현 방법도 〈가령사초〉에 간단히 나타냈다. 이원술의 경우까지는 문제가 없지만 삼원술부터 지원 $y$ 와 인원 $z$의 곱이나 천원, 지원, 인원을 곱한 항의 자리가 이원술처럼 정해질 수 없다. 또 천원(물원)의 음의 지수 항과 물원(천원), 혹은 지원(인원)의 음의 지수 항과 인원(지원)의 항의 자리도 중복된다. 따라서 천원술부터 사용하던 산대 표시와 문장 표시를 함께 사용하고 있는데 이 방법은 나사림의 세초에 그대로 사용하고 있다. 한편 주세걸의 퇴타술도 방정식의 구성을 위한 예로 도입되어 용어도 통일되지 않고 그 순서도 구조적이지 못하다. 나사림의 세초는 주세걸의 의도를 그대로 따랐기 때문에 퇴타술에 대한 구조적 접근은 제대로 되어 있지 않다. 이선란은 중국 수학사에서 마지막으로 전통수학에 큰 업적을 이룬 학자이다. 그는 와일리Wylie (1815~1887)와 함께 서양수학을 번역 출판하여 중국에 서양수학을 전파하는 데도 크게 기여하였다. 16세기 말 서양수학을 전파하기 시작한 리치Ricci(利瑪竇, 1552~1610)와 서광계(徐光啓)(1562~1633)가 유클리드Euclid의 《기하원본(幾何原本)》의 처음 6장을 번역하여 1607년에 출판하였다. 이선란과 와일리는 《기하원본》의 나머지 부분과 루미스Loomis(1811~1899)의 《Elements of Analytic Geometry and of the Differential and Integral Calculus》, 드모간De Morgan(1806~1871)의 《Elements of Algebra》를 번역하여 각각 《기하원본》(1857), 《대미적습급(代微積拾級)》(1853), 《대수학(代數學)》(1859)이라는 이름으로 출판하였다. 이들은 곧 일본에 전해져서 근대 서양수학을 동양에 전한 학자이다. 이선란은 삼원술, 사원술의 표현을 새로 고안하고 이를 〈가령사초〉에 적용하여 《사원해(四元解)》를 1845년에 저술하였다. 주세걸의 퇴타술을 연구 확장하여 《타적비류(垜積比類)》를 저술하여 두 책을 모두 《측고석재산학(則古昔齋算學)》(1867)에 실었다. 후자는 현재까지도 인용되는 중국 수학사에서 가장 중요한 업적 중의 하나로 알려진 것이다.
조선의 양반 산학자이며 천문학자인 남병길(南秉吉)(1820~1869)은 《구장산술》을 비롯하여 송, 원대까지의 거의 모든 산서를 들여왔다. 남병길은 홍정하(洪正夏)와 함께 조선 산학자 중에 가장 뛰어난 이상혁(李尙爀)(1810~?)과 양반과 중인의 관계를 뛰어넘어 공동연구와 공동저술을 하였다. 남병길은 그가 들여온 나사림의 세초를 연구하여 《옥감세초상해(玉鑑細艸詳解)》를 필사본으로 남겼다. 그는 천원술은 제외하고 이원술∼사원술의 일부를 선택하여 정리하였다. 나사림의 세초는 그와 동향인 이지한(易之瀚)의 〈증개방각례(增開方各例)〉, 〈보천원사원각례(補天元四元各例)〉 등을 〈보증제례(補增諸例)〉라는 이름으로, 이어서 그 자신의 〈개방석례(開方釋例)〉, 〈천원석례(天元釋例)〉, 〈사원석례(四元釋例)〉를 부록으로 넣었다. 중국산학은 실생활의 문제를 해결하여 모든 해는 양수(陽數)이다. 따라서 다항방정식의 양의 해를 구하는데, 다항방정식이 양의 해를 가지려면 반드시 방정식의 계수의 부호가 서로 다른 것이 있어야 한다. 이 사실이 〈개방석례〉에 들어 있는데 이에 따라 남병길과 이상혁은 방정식을 정부상당(正負相當)이라는 용어로 정리하였다. 남병길이 구한 방정식은 나사림의 세초의 것과 부호가 정반대인 것을 포함하고, 이지한의 〈증개방각례〉에 들어 있는 증승개방법을 연구하여 그가 구한 방정식의 해를 구하였다. 나사림의 세초의 일부를 필사한 책이 《사원옥감》이라는 이름으로 전해지고 있다. 우리는 필사자를 이상혁으로 추정한다. 그 이유는 남병길의 상해(詳解)와 달리 퇴타술을 집중적으로 필사하였고, 제1쪽에 코페르니쿠스Copernicus(1473~1543)의 사계절에 대한 이론을 논함(論春夏秋冬歌白尼論春夏秋冬四季之輪), 말미에 행성의 역행, 순행에 대한 해설을 첨가하였기 때문이다. ‘가백니(歌白尼)’는 코페르니쿠스이다. 남병길과 이상혁은 《수리정온》, 《사원옥감》을 포함한 송원 수학을 망라하는 《산학정의(算學正義)》(1867)를 저술하였다.
이상혁은 1868년 홍정하의 《구일집(九一集)》(1713~1724)과 함께 조선 산서로 가장 뛰어난 《익산(翼算)》을 출판한다. 《익산》은 상편 〈정부론(正負論)〉, 하편 〈퇴타설(堆垜說)〉로 이루어져 있다. 〈정부론〉은 정부상당이론으로 《사원옥감》의 사원술까지 포함하는 방정식의 구성과 해법을 구조적으로 정리한 것이다. 《사원옥감》의 퇴타술을 모두 구조적으로 재정리하고, 논리적 증명을 포함하여 완벽하게 전술한 단점을 해결한 것이 《익산》의 〈퇴타설〉이다. 이상혁은 심괄, 곽수경, 주세걸의 퇴타술을 모두 포함할 뿐 아니라 정수론의 가장 큰 도구인 귀납법의 초기 과정을 사용하였다. 주세걸의 퇴타술을 가장 잘 정리한 산서가 이상혁의 〈퇴타설〉이다.
홍정하의 방정식론을 포함하고 이지한의 방정식 해법을 포함하는 《산학계몽》의 주해서인 《계몽주해(啓蒙註解)》도 나사림의 세초의 영향을 받은 것으로써 이상혁의 저서로 추정한다.
조선 산학에서 창의적인 결과를 포함하는 마지막 산서는 조희순(趙羲純)(1814~1890)의 《산학습유(筭學拾遺)》(1869)이다. 그는 이 산서에서 〈사지산략(四之筭略)〉이라는 제목으로 이원술부터 사원술까지 모두 14문항을 취급하였다. 이원술은 원에 내접하는 세 정사각형 문제(품자(品字) 문제)와 정오각형의 내접원과 외접원의 문제 등 3문항을 다루었는데 이들은 이상혁의 《산술관견(算術管見)》(1855)에 취급된 문제이지만 조희순은 이들을 이원술로 해결하였다, 삼원술 9문항, 사원술 2문항은 모두 구고술에 관한 문제로 주세걸의 《사원옥감》에서 취급되지 않은 것들이다. 제4문에서 그는 삼원술로 해결하였지만 실제로 이원술로 해결할 수 있음을 언급하고 있다. 《사원옥감》의 중국, 조선 연구자는 모두 주세걸의 문제만 취급하고 있는데 반하여 조희순은 그 자신이 문제를 새로 설정하고 《사원옥감》에 활용된 소거법을 사용하여 방정식을 구성한 유일한 학자이다.
《사원옥감》은 동서양의 수학사학자 모두가 중국수학의 업적 중에서 가장 위대한 것으로 인정하고 있다. 불행하게도 19세기에 겨우 재발견되어 짧은 기간 동안 연구되었지만 주세걸의 소거법과 퇴타술은 현대 수학에 그대로 활용되어 전통 산학 중에서 그 가치가 그대로 살아 있는 매우 드문 산서이다.

6. 참고사항

(1)명언
• 막약(莫若)의 《사원옥감》 전서에서 전술한 사원술의 구조를 다음과 같이 나타냈다.“그 법은 기(氣)(태극(太極))를 가운데 놓고, 천원은 그 아래, 지원은 왼쪽, 인원은 오른쪽, 물원은 위쪽에 둔다. 음양은 아래위로, 진퇴는 좌우로 서로 변화하고, 뒤섞여 있는 것은 무궁하지만 영뉵, 방정은 물론이고 방정식의 풀이를 완벽하게 해낼 수 있게 한다. 이를 선현들이 제대로 밝혀내지 못하였는데 사원술(조원), 삼원술(삼재)과 승제가감의 원리를 끝까지 밝혀내어 스스로 일가를 이룬 책이다.[其法以元氣居中 立天元一於下 地元一於左 人元一於右 物元一於上 陰陽升降 進退左右 互通變化 錯綜無窮 其於盈絀 隱互 正負 方程 演段 開方之術 精妙元絶 其學能發先賢未盡之旨 會萬里而朝元 統三才而歸極 乘除加減 鉤深致元 自成一家之書也]” 〈전서(前序)〉
• 조이(祖頤)의 후서에서 전술한 소거법의 구조를 다음과 같이 나타냈다.“〈산대 표시들을〉 위아래로 오르내리고, 좌우로 옮기어 곱셈과 나눗셈을 계산하고, 원(元)들을 사용하여 얻어낸 값들과 참값을 비교하여 미지수가 포함된 것[虛]으로 참값[實]을 구한다. 뒤섞여있는 정부(正負)와 식$p\left(x,y,z,u\right)=0$을 $p=A+B$로 나누어(剔分), $A^2-B^2=0$을 얻고, 미지수의 역할을 서로 바꾸어(易位) 가로로 된 표현을 수직의 표현으로 바꾸는 등 이들은 모두 정교하고 복잡하지 않고 자연스럽게 진행된다. 이들을 통하여 소거하여 개방식을 얻어낸다.[上升下降 左右進退 互通變化 乘除往來 用假象眞 以虛問實 錯綜正負 分成四式 必以寄之剔之 餘籌易位 橫衝直撞 精而不雜 自然而然 消而和會 以成開方之式也]” 〈후서(後序)〉
• 나사림이 〈사고미수서제요(四庫未收書提要)〉에서 주세걸과 그의 업적을 아래와 같이 간단히 정리하였다. 나사림은 유한급수를 다룬 〈전적교참(箭積交參)〉을 언급하지 않고 있다.“한경은 구장과 천원일술, 정부개방법도 모두 잘 알고 있고 또 극히 지혜로운 사람으로 진실로 산학의 대가이다. 유한급수를 다룬 〈교초형단(茭艸形段)〉 〈여상초수(如像招數)〉 〈과적첩장(果積疊藏)〉 - 〈과타첩장(果垜疊藏)〉을 뜻함 – 등 문(問)은 옛날 산서의 미급한 것을 정리한 것이다.[漢卿於九章旣熟 於天元一術 正負開方之法 又神而明之是誠算學一大家也 其茭艸形段 如像招數 果積疊藏 各問爲自來算書所未及此]” 〈사고미수서제요(四庫未收書提要)〉
(2)색인어：사원옥감(四元玉鑑), 주세걸(朱世傑), 사원옥감세초(四元玉鑑細艸), 나사림(羅士琳), 천원술(天元術), 이원술(二元術), 삼원술(三元術), 사원술(四元術), 퇴타술(堆垜術), 방정식론(方程式論).
(3)참고문헌
• 中國科學技術典籍通彙 數學卷(郭書春 主編, 河南敎育出版社)
• 中國歷代算學集成(靖玉樹 編勘, 山東人民出版社)
• 四元玉鑑細艸(朱世傑 撰, 羅士琳 補艸, 臺灣 商務印書館)
• 翼算(李尙爀, 홍성사 譯, 敎友社)
• 朝鮮 算學의 堆垜術(홍성사, 한국수학사학회지 19(2), 2006)
• 朝鮮 算學과 四元玉鑑(홍성사 외, 한국수학사학회지 20(1), 2007)
• 19世紀 朝鮮의 勾股術(홍성사 외, 한국수학사학회지 21(2), 2008)

【홍성사】